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BSEB Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Textbook Solutions PDF: Download Bihar Board STD 9th Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Book Answers

 BSEB Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Textbook Solutions PDF: Download Bihar Board STD 9th Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Book Answers

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Bihar Board Class 9th Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Books Solutions

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BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है-
(i) 36100
(ii) 111
(iii) 418
(iv) 313
(v) 211
(vi) 329400
उत्तर:
(i) 36100 = 0.36
अतः 36100 का दशमलव रूप 0.36 है तथा बड़ एक सांत दशमलब है।

अत: 111 का दशमलव रूप 0.0908… = 0.09¯ है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।

(iii) 418

अत: 418 का दशमलव रूप 4.125 है तथा यह एक सांत दशमलव है।

(iv) 313

अग 313 का दशमलव रूप 0.230769⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।

(v) 211

अतः 211 का दशमलव रूप 0.18⎯⎯⎯⎯⎯⎯ है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।

(vi) 329400

अतः 329400 का दशमलव रूप 0.8225 है तथा यह एक सात दशमलव है।

प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि 17 = 0.142857⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ है। वास्तव में लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि 27, 37, 47, 57, 67 के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?
उत्तर:
मनहार, 17 = 0.142857⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 27, 37, 47, 57, 67 के प्रसार सम्वा भाग दिए, विना निम प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को 17 के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक है तथा q ≠ 0 है
(i) 0.6¯
(ii) 0.47¯
(iii) 0.00001⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯.
हल:
(i) मान x = 0.6¯ = 0.666…
यहाँ एक अंक की पुनरावृति है अतः 10 से गुणा करने पर,
10 x = 6.666…
इसलिए 10x = 6 + 0.666… = 6 + x
अतः 9x = 6
अर्थात् x = 69 = 23

(ii) माना x = 0.47 = 0-4777 ……..(1).
समी. (1) को 10 से गुणा करने पर,
10x = 4.7777 ……..(2)
यहाँ एक अंक की पुनरावृति है अतः 10 से गुण करने पर,
100 = 47.777
इसलिए 100x = 43 + 4.777… = 43 + 10x (समी- (2) से)
अतः 90x = 43
अर्थात x = 4390

(iii) माना x = 0.001⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.001001001…
यहाँ तीन अंकों की पुनरावृत्ति है अत: 1000 से गुणा करने पर,
1000x = 001.001001…
इसलिए 1000x = 1 + 001001… = 1 + x
अतः 999x = 1
अर्थात् x = 1999

प्रश्न 4.
0-99999… को 𝑝𝑞 के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
माना
x = 0.99999
वहाँ एक अंक को पुनरावृत्ति है अत: 10 से गुणा करने पर,
10x = 99999
इसलिए 10 = 9 + 0-999…… 9 + x
अतः 9x = 9
अर्थात् x = 99 = 1
हाँ, हम अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है।

प्रश्न 5.
117 के दशमलव प्रसार में अंकों की पुनरावृति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
हल:
117 के दशमलव प्रसार में अंकों की पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या = 17 – 1 = 16

16 अंकों का पुनरावृत्ति खण्ड है।

प्रश्न 6.
𝑝𝑞 (q ≠ 0) के रूष की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ और पूर्णाक है, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठगुणनखंड नहीं है और जिसका सांतदशमलय निरुपण (प्रसार) है। क्या आपका अनुमान लगा सकते हैं कि को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?
उत्तर:
𝑝𝑞 के रूप में परिमेय संख्याओं के अनेक बाहरण, जहाँ p और q पूर्णक है तथा 1 के अतिरिक्त अन्य कोई डायनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है वह है, 15, 74, 118, 272, 335 आदि। उपर्युक्त दी गई सभी परिमेय ‘संख्याएँ सांत दशमलव हैं।
जैसे-

हैं, हम अनुमान लगा सकते हैं, यदि संख्या एक सांत दशमलब है तोके गुणनखण्डों में 2 की पारा या 5 की पात या दोनों का होना आवश्यक है।

प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएं लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावी हो।
उत्तर:
तीन संख्याएँ जिनके दशमलव प्रसार अन्यसानी अनावर्ती है
0.50500500050000…
0.71711711171111…
0.230230023000…

प्रश्न 8.
परिमेय संख्या 57 और 911 के बीच की तीन अलग-अलग अंपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम 57 तथा 911 का दशमलव रूप ज्ञात करना पड़ेगा।

अपरिमेय संख्याएँ होगी।
0.7407404074000740000…
0.781078100781000…
0.803800380003800003…

प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय है-
(1) 23‾‾‾√
(ii) 225‾‾‾‾√
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478
(v) 1101001000100001.
उत्तर:
(1) 23‾‾‾√ एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 225‾‾‾‾√ = (ii) 15×15‾‾‾‾‾‾‾√ = 15. यह एक परिमेय संख्या है।
(iii) 0.3796, एक सांत परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478… = 7.478⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, एक असांत आवर्ती परिमेय संख्या है।
(v) 1.1010010001000001… एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यहाँ पुनरावृत्ति नहीं है।

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