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## BSEB Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Solutions PDF: Download Bihar Board STD 9th Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Book Answers

 BSEB Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Solutions PDF: Download Bihar Board STD 9th Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Book Answers

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## BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 101
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + 32) (y² – 32)
(v) (3 – 2x) (3 + 2x),
उत्तर:
(i) सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab को लागू करने पर,
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10) x + (4) (10)
= x² + 14x + 40

(ii) सर्वसमिका (x + a)(x + b) = x² + (a + b) x + ab को लागू करने पर,
(x + 8)(x – 10) = x² + [8 + (-10)] x + (8) (-10)
= x² – 2x – 80

(iii) सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab को लागू करने पर,
(3x + 4)(3x – 5) = (3x)² + [4 + (-5)] x + (3x) + (4) (-5)
= 9x² – 3x – 20

(iv) सर्वसमिका (x + a) (x – a) = x² – a² को लागू करने पर,
(y² + 32) (y² – 32) = (y²)² – (32)²
= y4 – 94

(v) सर्वसमिका (x + a) (x – a) = x² – a² को लागू करने पर,
(3 – 2x) (3 + 2x) = 3² – (2x)²
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफालों के मान ज्ञात कीजिए
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96.
उत्तर:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) (100) + (3) (7)
(∵ सर्वसमिका (x + a) (x + b)
= x² + (a + b) x + ab)
= 10000 + 1000 + 21
= 11021.

(ii) 95 × 96 = (100 – 5) × (100 – 4)
(100)² + [(-5) + (-4)] (100) + (-5) (-4)
(∵ सर्वसमिका (x + a) (x + b)
= x² + (a + b) x + ab)
= 10000 – 900 + 20
= 91210.

(iii) 104 × 96 = (100 + 4)(100 – 4)
= (100)² -(4)²
(∵सर्वसमिका (x + a) (x + a) = x² – a²)
= 10000 = 16
= 9984.

प्रश्न 3.
उपर्युक्त सर्वसमिकाएं प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्ड कीजिए
(i) 9x² + 6xy + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – 𝑦2100
उत्तर:
(i) 9x² + 6xy + y²
सर्वमिका, x² + 2xy + y² = (x + y)² लागू करने पर,
9x² + 6xy + y² = (3x)² + 2(3x)(y) + y²
= (3x + y)²

(ii) 4y² – 4y + 1
सर्वसमिका x² – 2xy + y² = (x – y)² लागू करने पर,
4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2(2y)(1) + 1²
= (2y – 1)²

(iii) x² – 𝑦2100
कार्यसमिका, x² – y² = (x + y) (x – y) लागू करने पर,
x² – (𝑦10)² = (x + 𝑦10) = (x – 𝑦10)²

प्रश्न 4.
उपर्युक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(iii) (-2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) (-2x + 5y – 3z)²
(vi) [14a – 12b + 1]²
उत्तर:
(i) (x + 2y + 4z)²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर
(x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2(x)2(y) (2(2y) (4y) + 2(4z) (x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz

(ii) (2x – y + z)²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर
(2x – y + z)² = (2x)² + (-y)² + z² + 2(2x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(2x) z
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4xz

(iii) (-2x + 3y +2z)²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर
(-2x + 3y + 2z)² = (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x) (3y) + 2(3y) (2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8xz

(iv) (3a – 7b – c)²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर
(3a + 7b + c)² = (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a) (-7b) + 2(-7b) (-c) + 2(3a)(-c)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर
(-2x + 5y – 3z)² = (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x) (5y) + 2(5y) (-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12xz

(vi) [14a – 12b + 1]²
सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx लागू करने पर

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड कीजिए
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz.
उत्तर:
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2 (2x) (3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x)
= (2x + 3y – 4z)²
[∵ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2z = (x + y + z)²]

(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz.
= (-√2x)² + y² + (2√2z)² + 2(-√2x)(y) + 2(y) (2√2 z) +2 (-√2x) (2√2z)
= (-√2x + y + 2√z)²
[∵ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2z = (x + y + z)²]

प्रश्न 6.
निम्नलिखित धनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³
(iii) [32x + 1]³
(iv) [x – 23y]³
उत्तर:
(i) (2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³ + 3(2x) (1) (2x + 1)
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) से]
= 8x³ + 1 + 6x (2x + 1)
= 8x³ + 12x² + 6x + 1.

(ii) (2a – 3b)³ = (2a)³ – (3b)³ – 3(2a) (3b) (2a – 3b)
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) से]
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³

(iii) [3𝑥2 x + 1]³

[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) से]
= x³ – 827 y³ – 2xy (x – 23 y)
= x³ – 2x²y + 43 xy² – 827 y³

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³
उत्तर:
(i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
[∵ (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]
= 1000000 – 1 – 300 (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 970290

(ii) (102)³ = (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100) (2) (100 + 2)
[∵ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]
= 1000000 + 8 + 300 (100 + 1)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)³ = (1000 – 2)³
= (1000)³ – (2)³ – 3(1000) (2) (1000 – 1)
[∵ (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)]
= 1000000000 – 8 – 6000 (1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 994011992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए-
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
(v) 27p³ – 1216 – 92p² + 14p.
उत्तर:
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a)³ +(b)³ + 6ab (2a + b)
= (2a)³ + (b)³ + 3(2a) (b) (2a + b)
[∵ a³ + b³ + 3ab(a + b) = (a + b)³]
= (2a + b)³

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
(2a)³ – (b)³ – 3 × 2a × b (2a – b)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)से]
= (2a – b)³.

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3 × 3 × 5a(3 – 5a)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)से]
= (3 – 5a)³.

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
= (4a)³ – (3b)³ – 3 × 4a × 3b (4a – 3b)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) से]
= (4a – 3b)³

(v) 27p³ – 1216 – 92p² + 14p.
= (3p)³ – (16)³ – 3 × 3p × 16 (3p – 16)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) से]
(3p – 16)

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
उत्तर:
(i) हम जानते हैं कि,
(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy (x + y)
⇒ बायाँ पक्ष x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)
= (x + y) [(x + y)² – 3xy]
= (x + y) [x² + y² + 2xy – 3xy]
= (x + y) (x² + y² – xy)
= (x + y) (x² – xy + y²) = दायाँ पक्ष।

(ii) हम जानते है कि,
(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)
⇒ बायाँ पक्ष x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)
= (x – y) [(x – y)² + 3xy]
= (x – y) [x² + y² – 2xy + 3xy]
= (x – y) (x² + y² + xy)
= (x – y) (x² + xy + y²) = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए.
(i) 27y³ + 125z³
(ii) 64m³ – 343n³.
उत्तर:
(i) 27y³ + 125z³ = (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)[(3y)² + (5z)² – (3y) (5z)]
[∵ x³ + y³ = (x + y) (x² + y² – xy)]
= (3y + 5z) (9y² + 25z² – 15yz)

(ii) 64m³ – 343n³ = (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n)[(4m)² + (7n)² + (4m) (7n)]
[∵ x³ – y³ = (x + y) (x² + y² + xy)]
= (4m – 7n) (16m² + 49n² + 28mn)

प्रश्न 11.
गुणनखण्ड कीजिए-
27x³ + y³ + z³ – 9xyz.
उत्तर:
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]
[∵ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy + yz + zx)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz]

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए-
x³ + y³ + z² – 3xyz = 12 (x + y + z) (x – y)² + (y – z)² + (z – x)²
उत्तर:
बार्यो पक्ष = x³ + y³ + z² – 3xyz
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= 12 (x + y + z) (2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx)
= 12 (x + y + z) (x² + x² + y² + y² + z² + z² – 2xy – 2yz – 2zx)
= 12 (x + y + z) ([x² + y² – 2xy] + [y² + z² – 2yz] + [z² + x² – 2zx])
= 12 (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= दायाँ पक्ष इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
उत्तर:
हम जानते है कि,
x³ + y³ + z³ – 3xyz
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
प्रश्नानुसार x + y + z = 0 है,
तो. x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
अतः x³ + y³ + z³ = 3xyz

प्रश्न 14.
वास्तव में प्रनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए-
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
उत्तर:
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³
⇒ हम जानते हैं कि यदि x + y + z = 0 है तो,
x³ + y³ + z³ = 3xyz होगा।
यहाँ x = -12, y = 7 तथा z = 5 है।
तो. x + y + z = -12 + 7 + 5 = 0
अतः (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3(-12) (7) (5)
= -1260

(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
⇒ हम जानते हैं कि यदि x + y + z = 10 है तो,
x³ + y³ + z³ = 3xyz होगा।
पह x = 28,y = -15 तथा z = -13 है
तो, x + y + z = 28 – 15 – 13 = 0
अत: (28)³ + (-15)³ + (-13)³
= 3(28) (-15)(-13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक दीजिए-
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(a) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
उत्तर:
(i) प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 20a – 15a + 12
(मध्य पद को विभका करने पर)
= 5a (5a – 4)-3 (5a – 4)
= (5a – 4)(5a – 3)
अतः, आवता की लम्बाई के लिए सम्भव व्यंजक = 5a – 4
तथा, आयत की चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक = 5a – 3.

(ii) प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
= 35y² + 28y – 15y – 12
(मध्य पद को विभका करने पर)
= 7y (5y + 4) -3 (5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अतः आयत की लम्बाई के लिए सम्भव व्यंजक = 5y + 4
तथा, आयत की चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक = 7y – 3.

प्रश्न 16.
घनाभों (Cuboids) जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक क्या है?
(i) आयतन : 3x² – 12
(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
उत्तर:
(i) प्रश्नानुसार, आयतन = 3x² – 12x
= 3x (x – 4)
अत: घनाभ की विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक 3, x तथा (x – 4) हैं।

(ii) मनानुसार, आयतन = 12ky² + 8ky – 20k
= k (12y² + 8y – 20)
= k (12y² + 20 – 12y – 20)
= k [(4y (3y + 5) -4 (3y + 5)]
(मध्य पद को विभका करने पर)
= k (3y + 5) (4y – 4)
= 4k (3y + 5) (y – 1)
अत: घनाभ को विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक 4k. (3y + 5) तथा (y – 1) हैं।

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