AP Board Class 9 Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions PDF: Download Andhra Pradesh Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Book Answers ~ HSSlive: Plus One & Plus Two Notes & Solutions for Kerala State Board

AP Board Class 9 Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions PDF: Download Andhra Pradesh Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Book Answers

AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions and answers for students are now available in pdf format. Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Book answers and solutions are one of the most important study materials for any student. The Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions books are published by the Andhra Pradesh Board Publishers. These Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions textbooks are prepared by a group of expert faculty members. Students can download these AP Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions book solutions pdf online from this page.

Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions PDF

Andhra Pradesh State Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Books Solutions with Answers are prepared and published by the Andhra Pradesh Board Publishers. It is an autonomous organization to advise and assist qualitative improvements in school education. If you are in search of AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Books Answers Solutions, then you are in the right place. Here is a complete hub of Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions solutions that are available here for free PDF downloads to help students for their adequate preparation. You can find all the subjects of Andhra Pradesh Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks. These Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions English PDF will be helpful for effective education, and a maximum number of questions in exams are chosen from Andhra Pradesh Board.

Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Books Solutions

Board	AP Board
Materials	Textbook Solutions/Guide
Format	DOC/PDF
Class	9th
Subject	Maths
Chapters	Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions
Provider	Hsslive

How to download Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions Answers PDF Online?

Visit our website - Hsslive
Click on the Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Answers.
Look for your Andhra Pradesh Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks PDF.
Now download or read the Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions for PDF Free.

AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions with Answer PDF Download

Find below the list of all AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions for PDF’s for you to download and prepare for the upcoming exams:

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. మీ చుట్టు పక్కల జాగ్రత్తగా పరిశీలించి సరళరేఖలు మరియు కోణములను ఉపయోగించుకొనే ఏవైనా మూడు సందర్భాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 71)
సాధన.
నల్లబల్ల అంచులు, స్కేలు యొక్క అంచులు, టేబుల్ యొక్క అంచులు భుజాల కోణాలకు మరియు సరళరేఖలకు ఉదాహరణలు.

2. వాటి బొమ్మలను మీ నోట్ పుస్తకములో గీయండి. అటువంటి కొన్ని చిత్రములను సేకరించండి. (పేజీ నెం.71)
సాధన.

3. కింది కోణములకు పూరక, సంపూరక మరియు సంయుగ్మ కోణములను రాయండి. (పేజీ నెం.76)
a) 45°
b) 75°
c) 215°
d) 30°
e) 60°
f) 90°
g) 180°
సాధన.

4. కింది కోణములలో ఏ కోణాల జతలు పూరక మరియు సంపూరక కోణాల జతలు అవుతాయి? (పేజీ నెం. 76)

సాధన.
పటము (i) మరియు (ii) లు పూరక కోణాల జతలు అగును.
పటము (ii) మరియు (iii) లు సంపూరక కోణాల జతలు అగును.

5. కింద ఇచ్చిన కోణాలను, పూరక కోణాలు, రేఖీయద్వయం, శీర్షాభిముఖ కోణాలు మరియు ఆసన్న కోణాల జతలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 80)

సాధన.
పటం (i) లో గల a మరియు b కోణాలు రేఖీయ ద్వయములు.
పటం (ii) లో గల a మరియు b కోణాలు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (iii) లో గల a మరియు b కోణాలు పూరక కోణాలు.
పటం (iv) లో గల a మరియు b కోణాలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు.

6. ప్రతి పటములో ‘a’ కోణము విలువను కనుగొని, కారణాలు వివరించండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
i) పటం (i) లో 50° మరియు a కోణాలు రేఖీయద్వయం కావున a + 50° = 180°
a = 180° – 50° = 130°

ii) పటం (ii) లో a మరియు 43° లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావున a = 43° అగును.

iii) పటం (iii) లో 209°, a మరియు 96° లు సంపూర్ణకోణాలు కావున
209° + 96° + a° = 360°
305° + a° = 360°
a° = 360° – 305° = 55°

iv) పటం (iv) లో a° మరియు 63°లు పూరక కోణాలు
కావున a° + 63° = 90°
a = 90° – 63° = 27°

7. కింది పటాలలో l, m లు రెండు సమాంతర రేఖలు మరియు n తిర్యగ్రేఖ. ప్రతి పటములో సూచించబడిన కోణము విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.87)

సాధన.
x = 110° (ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానం)
y = 84° (ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానం)
z = 180° – 100° = 80° (తిర్యగ్రేఖకు ఒకేవైపు ఉన్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు)
s° = 53° (ఆసన్న కోణాలు సమానము)

8. కింది వాటిలో x విలువను కనుగొనండి మరియు కారణములను తెల్పండి. (పేజీ నెం.88)

సాధన.
i) ఆసన్న కోణములు సమానము కావున
11x – 2 = 75°
11x = 75 + 2 = 77
∴ x = 7711

ii) ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానము కావున
8x – 4 = 60°
8x = 60 + 4 = 64
x = 648 = 8

iii) ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానము
(14x – 1)° = (12x + 17)°
14x – 12x = 17 + 1
2x = 18
x = 182 = 9

iv) సదృశ్య కోణాలు సమానము
13x – 5 = 17x + 5
13x – 17x = 5 + 5
-4x = 10
x = 10−4=−52

9. సరళరేఖ AD⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై రెండు బిందువులు B, C లను గుర్తించండి. B, Cల వద్ద ∠ABQ, ∠BCS సమాన కోణాలను నిర్మించండి. QB, SC లను AD కి అవతలి వైపు పొడిగించగా PQ, RS సరళరేఖలు ఏర్పడును. ఏర్పడిన PQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, RS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖలకు ఉమ్మడి లంబరేఖలు EF⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, GH⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లను గీయండి. EF⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, GH⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు? దాని నుండి మీరు ఏమి నిర్ధారిస్తారు ? రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానమైన ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు అని జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోండి. (పేజీ నెం. 89)

సాధన.
∠ABQ = ∠BCS మరియు అవి AD రేఖ పై ఉన్నవి.
BQ // CS, EF మరియు GH సమాంతర రేఖలు PQ, RS ల పైకి గీయబడిన లంబాలు. కావున ఆ రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానము కాబట్టి ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రయత్నించండి

1. కింద ఇచ్చిన (i, ii, iii మరియు iv) పటములలో ఆసన్న కోణాల జతలను, ఆసన్న కోణములు కాని జతలను గుర్తించి వ్రాయుము. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
పటం (i) లో 21 మరియు 22 లు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (ii) లో ఆసన్న కోణాలు లేవు.
పటం (iii) లో (∠1, ∠2), (∠2, ∠3) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.
పటం (iv) లో ∠1 మరియు ∠2లు ఆసన్న కోణాలు.

ii. . కింది. పటములోని ఆసన్న కోణాల జతలను గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో (∠1, ∠2), (∠3, ∠4), (∠4, ∠5) మరియు (∠3, ∠5) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.

2) i) ఇచ్చిన పటంలో ప్రశ్నార్థకం గుర్తు సూచించే కోణం విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)

సాధన.
పటం నుండి ఒక తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల బాహ్యకోణాలు సమానములు.
∴ ? = 110°

ii) ∠P విలువకు సమానంగా ఉండే కోణాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
∠P = ∠Q = ∠R = 110° ఎందుకనగా అవి ఒక తిర్యగ్రేఖకు గల సదృశ్య కోణాలు.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. ఖండన రేఖలకు, మిళిత రేఖలకు గల భేదమేమిటి ? (పేజీ నెం. 74)
సాధన.
i) రెండు సరళరేఖలు ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే వాటిని ఖండన రేఖలంటారు.
ii) మూడు అంతకన్నా ఎక్కువ సరళరేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే ఆ సరళరేఖలను మిళిత రేఖలంటారు.

2. రేఖీయద్వయం ఎప్పుడూ ఆసన్నకోణాలు అవుతాయి. కాని ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కానవసరం లేదు. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 77)
సాధన.
ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కావలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకనగా ఏర్పడవచ్చును.

3. ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము ఎంత ? (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
ΔABC ని మరియు దాని భుజాలను పొడిగించగా బాహ్యకోణాలు ఏర్పడతాయి.

∠1 = ∠A + ∠C
∠2 = ∠A + ∠B
∠3 = ∠B+ ∠C
∠1 + ∠2 + ∠3 = 2[∠A + ∠B + ∠C]
2 × 180° = 360°
∴ ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము 360°.

సిద్ధాంతం :

రెండు సరళరేఖలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే ఏర్పడిన శీర్షాభిముఖ కోణాల కొలతలు సమానం. (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
దత్తాంశం : AB మరియు CD లు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొనే రెండు సరళరేఖలు.
సారాంశము :

i) ∠AOC = ∠BOD
ii) ∠AOD = ∠BOC
ఉపపత్తి : కిరణము OA⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖ CD⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై నున్నది. అందువలన, ∠AOC + ∠AOD = 180° (రేఖీయద్వయం స్వీకృతం) ……… (1)
అలాగే, ∠AOD + ∠BOD = 180° (ఎందుకు ?) …….. (2)
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
((1) మరియు (2) ల నుండి)
∠AOC = ∠BOD (సమానంగానున్న కోణాలను రెండు వైపులా తొలగించగా)
అదే విధంగా మనం ∠AOD = ∠BOC అని నిరూపించవచ్చు.
దీనిని నీవు స్వంతంగా ప్రయత్నించు.

కృత్యం

1. ఈ క్రింది పటములలోని కోణములను కొలిచి పట్టికలో నింపండి. (పేజీ నెం. 78)

కింద ఇచ్చిన పటములలో, ప్రతీ పటములోని నాలుగు కోణములు 1, 2, 3, 4 లను కొలిచి పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం.79)

శీర్షాభిముఖ కోణాల జతల గురించి నీవు ఏమి పరిశీలించావు ? అవి సమానముగా ఉన్నాయా ? సిద్ధాంత పరంగా దీనిని నిరూపిద్దాం .

2. ఒక స్కేలును, మూలమట్టాన్ని తీసుకోండి. పటములో చూపినట్లు మూలమట్టాన్ని స్కేలుపై అమర్చండి. మూలమట్టము ఏటవాలు అంచు చదునైన తలం వెంబడి పెన్సిల్ తో గీత గీయండి. ఇప్పుడు మూలమట్టాని , దాని క్షితిజ సమాంతర అంచు వెంబడి జరిపి, మరల ఏటవాలు అంచు వెంబడి గీత గీయండి. మనము గీసిన రెండు గీతలు సమాంతరంగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. అవి ఎందుకు సమాంతరం. ఉన్నాయి ? ఆలోచించి, మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 88)

3. పటం (1) లో చూపినట్లు ఒక పెద్ద కాగితపు త్రిభుజాన్ని గీసి కత్తిరించండి.
కోణాలను పటంలో చూపినట్లు కత్తిరించి సంఖ్యలచే సూచించండి.
పటం (2)లో చూపినట్లు, ఈ మూడు కోణాలను పక్క పక్కన వచ్చునట్లు అమర్చండి.

1. ఈ మూడు ఆసన్న కోణములు కలిసి ఏర్పరచిన కోణము ఏదో కనుగొనుము. ఈ కోణము విలువ ఎంత ?
2. ఒక త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తమును గురించి రాయండి.
ఇప్పుడు సమాంతర రేఖలకు సంబంధించిన ప్రవచనాలను స్వీకృతులు మరియు సిద్ధాంతాల సహాయంతో రుజువు చేద్దాం. (పేజీ నెం.97)

ఉదాహరణలు

1. ఒక కోణము కొలత 62°, అయిన దాని పూరక కోణము విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం.75)
సాధన.
పూరక కోణముల మొత్తము 90° కావున 62° కోణము యొక్క పూరక కోణము 90° – 62° = 28°
మరల ఈ కింది పటములను పరిశీలించి ప్రతి పటములోని కోణముల మొత్తము కనుగొనండి.

ప్రతి పటములో సూచించిన రెండు కోణముల మొత్తము ఎంత ? 180° కదా ! అటువంటి కోణాల జతలను ఏమని పిలుస్తారో మీకు తెలుసా ? వాటిని సంపూరక కోణాలు అంటారు. ఇచ్చిన కోణము x° అయిన దాని సంపూరక కోణము ఎంత ? x° కోణము యొక్క సంపూరక కోణము (180° – x°).

2. రెండు పూరక కోణముల నిష్పత్తి 4 : 5. అయిన ఆ కోణములు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 76)
సాధన.
కావలసిన కోణములను 4x మరియు 5x అనుకొనుము.
కావున 4x + 5x = 90° (ఎందుకు ?)
9x = 90° ⇒ x = 10°
కాబట్టి కావలసిన కోణములు 40° మరియు 50°.

3. కింది పటంలో AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ఒక సరళరేఖ. అయిన ‘x’ విలువను కనుగొని దాని సహాయంతో ∠AOC, ∠COD మరియు ∠BOD లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ అనేది ఒక సరళరేఖ. దీనిపై ‘O’ బిందువు వద్ద ఏర్పడిన కోణముల మొత్తము 180°.
∴ (3x + 7)° + (2x – 19)° + x = 180° (∵ రేఖీయ కోణాలు)
⇒ 6x – 12 = 180 ⇒ 6x = 192 ⇒ x = 32°
కావున, ∠AOC = (3x + 7)°
= (3 × 32 + 7)° = 103°,
∠COD = (2x – 19)°×
= (2 × 32 – 19)9° = 45°,
BOD = 32°.

4. కింది పటంలో PQ మరియు RS సరళరేఖలు, బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 అయిన అన్ని కొలతలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
∠POR + ∠ROQ = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
కాని ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 (దత్తాంశం)
కావున, ∠POR = 512 × 180 = 75°
అదే విధంగా, ∠ROQ = 712 × 180 = 105°
ఇప్పుడు, ∠POS = ∠ROQ = 105° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
మరియు ∠SOQ = ∠POR = 75. (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)

5. కింది పటంలో AOB ఒక సరళరేఖ.
∠COD = 90°, ∠BOE = 72° అయిన ∠AOC, ∠BOD మరియు ∠AOE కోణముల కొలతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
AOB ఒక సరళరేఖ, కావున
∠AOE + ∠BOE = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 3x° + 72° = 180°
⇒ 3x° = 108° ⇒ x = 36°.
ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పడే కోణముల మొత్తం 360° అని మనకు తెలుసు.
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180° (∵ సరళకోణం )
⇒ x° + 90° + y° = 180°
⇒ 36° + 90° + y° = 180°
y° = 180° – 126° = 54°
∴ ∠AOC = 36°, ∠BOD = 54° మరియు ∠AOE = 108°.

6. ఇచ్చిన పటంలో కిరణము OS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖ PQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై ఉన్నది. కిరణము OR⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ మరియు కిరణము OT⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లు వరుసగా ∠POS మరియు ∠SOQ ల కోణ సమద్వి ఖండన రేఖలు. అయిన ∠ROT కొలతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
కిరణము OS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖ PQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై ఉన్నది.
కావున, ∠POS + ∠SOQ = 180° (రేఖీయద్వయం)
∠POS = x° అనుకొనుము.
∴ x° + ∠SOQ = 180° (ఎలా అయింది ?)
కావున, ∠SOQ = 180° – x°
∠POS కు OR⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
∴ ∠ROS = 12 × ∠POS
= 12 × x = 𝑥2
ఇదే విధంగా ∠SOT = 12 × ∠SOQ
= 12 × (180° – x°)
= 90° – 𝑥∘2
ఇప్పుడు, ∠ROT = ∠ROS + ∠SOT
= 𝑥∘2+(90∘−𝑥∘2)
= 90°

7. కింది పటంలో OP⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, OQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, OR⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ మరియు OS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లు నాలుగు కిరణములు అయిన ∠POQ+ ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° అని నిరూపించుము. (పేజీ నెం.83)

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో OP⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, OQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, OR⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ మరియు OS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లలో ఏదైనా ఒక కిరణమునకు వ్యతిరేక కిరణము గీయుము.
TOQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖ అగునట్లు కిరణము OT⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ గీయుము.
ఇప్పుడు కిరణము OP సరళరేఖ TQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై ఉండును.
∴ ∠TOP + ∠POQ = 180° ………… (1) (రేఖీయద్వయం)
ఇదే విధంగా OS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖ TQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ పై ఉన్నది.
∴ ∠TOS + ∠SOQ = 180°……….. (2) (ఎందుకు ?)
కాని ∠SOQ = ∠SOR + ∠QOR
సమీకరణం (2) లో రాయగా
∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 180° ……… (3)
(1) మరియు (3) సమీకరణములను కలుపగా
∠TOP + ∠POQ + ∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 360° …….. (4)
కాని ∠TOP + ∠TOS = ∠POS
అందువలన సమీకరణము (4) కింది విధముగా మారును.
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°

8. ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
E గుండా AB || CD లకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు
EF సరళరేఖను గీయండి. EF || CD మరియు CE తిర్య గ్రేఖ.
∴ ∠DCE + ∠CEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునుండే అంతర కోణాలు]
⇒ x° + ∠CEF = 180° ⇒ ∠CEF = (180 – x°).
మరల, EF || AB మరియు, AE ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠BAE + ∠AEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు నుండే అంతర కోణాలు]
⇒ 105° + ∠AEC + ∠CEF = 180°
⇒ 105° + 25° + (180° – x°) = 180°
⇒ 310 – x° = 180°
కావున, x = 130°.

9. కింది పటంలో x, y, z మరియు a, b, c ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)

సాధన.
ఇచ్చట మనకు
y° = 110 (∵ సదృశ కోణాలు)
⇒ x° + y° = 1800 (రేఖీయద్వయం)
⇒ x° + 110° = 180°
⇒ x° = (180° – 110°) = 70°
z° = x° = 70° – (∵ సదృశ కోణాలు)
c° = 65 (ఎలా ?)
a° + c° = 180° [రేఖీయద్వయం]
⇒ a° + 65° = 180°
⇒ a° = (180° – 65°) = 115°
b° = c° = 65°. [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
అందువలన a = 115°, b = 65°, c = 65°, x = 70°, y = 110°, z = 70°

10. కింది పటంలో EF || GH, AB || CD అయిన x కనుగొనండి. (పేజీ నెం.91)

సాధన.
4x° = ∠APR (ఎందుకు ?)
∠APR = ∠PQS (ఎందుకు ?)
∠PQS + ∠SQB = 180° (ఎందుకు ?)
4x° + (3x + 5)° = 180°
7x° + 5° = 180°
x = 180∘−5∘7 = 25°

11. ఇచ్చిన పటంలో, PQ || RS. ∠MXQ = 135°, ∠MYR = 40° అయిన ∠XMY కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92)

సాధన.
బిందువు M ద్వారా PQ సరళరేఖకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు సరళరేఖ AB ని నిర్మించండి.
ఇప్పుడు, AB || PQ మరియు PQ || RS.
∴ AB || RS
ఇప్పుడు ∠QXM + ∠XMB = 180°
(∴ AB || PQ, మరియు XM తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు ఉన్న అంతర కోణాలు)
అందుచేత, 135° + ∠XMB = 180°
∴ ∠XMB = 45° ……….. (1)
అలాగే ∠BMY = ∠MYR
(AB || RS ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠BMY = 40°………… (2)
(1), (2) లను కలుపగా
∠XMB + ∠BMY = 45° + 40 అనగా ∠XMY = 85°.

12. ఇచ్చిన రెండు రేఖలను ఒక తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఒక జత సదృశ కోణాల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు సమాంతర రేఖలైన, ఇచ్చిన రెండు రేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 92)
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో తిర్యగ్రేఖ AD⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ఇచ్చిన రెండు రేఖలు PQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, RS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లను వరుసగా బిందువులు B, C ల వద్ద ఖండించుచున్నది. ∠ABQ కోణ సమద్విఖండన రేఖ BE⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ అలాగే ∠BCS కోణ సమద్విఖండన రేఖ CF⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ఇంకా BE || CF.
మనము PQ || RS అని నిరూపించాలి. ఈ కింది వానిలో ఏదైనా ఒక జత నిరూపించిన సరిపోతుంది.
i. సదృశకోణాలు సమానం.
ii. ఏకాంతర కోణాల జత లేదా ఏక బాహ్యకోణాల – జత సమానము.
iii. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు.
ఇచ్చిన పటములో, మనము ఒక జత సదృశకోణాలు సమానము అని నిరూపిద్దాము.
దత్తాంశం నుండి ∠ABQ కు BE కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ.
∠ABE = 12 ∠ABQ…….. (1)

అదే విధంగా, ∠BCS కు CF కోణసమద్విఖండనరేఖ.
∠BCF= 12∠BCS ………. (2)
కాని సమాంతర రేఖలు BE, CF లకు AD⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ఒక తిర్యగ్రేఖ.
అందువలన ∠ABE = ∠BCF (సదృశ కోణాల స్వీకృతము) ….. (3)
(1), (2), (3) సమీకరణముల నుండి
12∠ABQ = 12∠BCS
∴ ∠ABQ = ∠BCS
కాని PQ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ మరియు RS⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ AD⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ఖండించగా ఏర్పడిన సదృశకోణాల జత, మరియు అవి సమానంగా ఉన్నాయి.
కావున PQ || RS (సదృశకోణాల విపర్యయ స్వీకృతము)

13. కింది పటంలో, AB || CD మరియు CD || EF. అలాగే EA ⊥ AB. ∠BEF = 55° అయిన x, y, z విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 93)

సాధన.
BE ని G దాకా పొడిగించుము.
ఇప్పుడు ∠GEF = 180° – 55° (ఎందుకు ?)
=125°
అలాగే ∠GEF = x = y = 125° (ఎందుకు ?)
ఇప్పుడు. z = 90° – 55° (ఎందుకు ?)
= 35°
రెండు సరళ రేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపు పద్దతులు :
1. సదృశకోణాల జత సమానమని చూపుట.
2. ఏకాంతర కోణాల జత సమానమని చూపుట.
3. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు అని చూపుట.
4. ఒక తలంలో ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలు, మూడవ రేఖకు లంబరేఖలని చూపుట.
5. ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలను, మూడవ రేఖకు సమాంతర రేఖలని చూపుట.

14. ఒక త్రిభుజ కోణాలు (2x) , (3x + 5) ° మరియు (4x – 14)° అయిన x విలువను కనుగొని, దాని సహాయంతో త్రిభుజ కోణాల విలువలు కనుగొనంది. (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
త్రిభుజములోని కోణాల మొత్తం 180° అని మనకు తెలుసు.
∴ 2x° + 3x° + 5° + 4x° – 14° = 180°
⇒ 9x° – 9° = 180°
⇒ 9x° = 180° + 9° = 189°
⇒ x = 189∘9∘ = 21
∴ 2x° = (2 × 21)° = 42°,
(3x + 5)° = [(3 × 21 + 5)° = 68°.
(4x – 14)° = [(4 × 21) – 14]° = 70°
కావున ఆ త్రిభుజ కోణాలు 42°, 68° మరియు 70°.

15. కింది పటంలో AB || QR, ∠BAQ = 142° మరియు ∠ABP = 100°. అయిన (i) ∠APB (ii) ∠AQR మరియు (iii) ∠QRP లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 99)

సాధన.
i) ∠APB = x° అనుకొనుము.
ΔPAB లో భుజము PA ను Q బిందువు దాకా పొడిగించగా 7 బాహ్యకోణం
∠BAQ = ∠ABP + ∠APB
⇒ 142° = 100° + x°
⇒ x° = (142° – 100°) = 42°.
∴ ∠APB = 42°,

ii) ఇప్పుడు AB || QR మరియు PQ ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∴ ∠BAQ + ∠AQR = 180° [తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాల మొత్తం 180°]
⇒ 142° + ∠AQR = 180°,
∴ ∠AQR = (180° – 142°) = 38°

iii) AB || QR మరియు PR తిర్యగ్రేఖ కావున
∠QRP = ∠ABP = 100° (సదృశ కోణాలు)

16. కింది పటములోని సమాచారము ఉపయోగించి x విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో ABCD ఒక చతుర్భుజము. దీనిని రెండు త్రిభుజములుగా చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
AC బిందువులను కలిపి దానిని బిందువు E దాకా పొడిగించండి.

∠DAE = p°,
∠BAE = q°,
∠DCE = z° మరియు
∠ECB = t°.
ఒక త్రిభుజ బాహ్యకోణము దాని అంతరాభిముఖ కోణముల మొత్తమునకు సమానము కావున
z° = p° + 26°
t° = q° + 38°
∴ z° + t° = p° + q° + (26 + 38)°
= p° + q° + 64°
కాని p° + q° = 46. (∵ ∠DAB = 46°)
కావున z° + t° = 46 + 64 = 110°.
అందువలన x° = z° + t° = 110°.

17. ఇచ్చిన పటంలో ∠A = 40. BO⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ మరియు CO⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ లు వరుసగా ∠B మరియు ∠Cల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు అయిన ∠BOC కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
BO అనేది ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
CO అనేది ∠C యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ.
∠CBO = ∠ABO = x° అనుకోండి.
∠BCO = ∠ACO = y° అనుకోండి.
అప్పుడు ∠B = (2x)°, ∠C = (2y)° మరియు ∠A = 40°.
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°. (ఎలా ?)
2x° + 2y° + 40° = 180°
⇒ 2(x + y)° = 140°
⇒ x° + y° = 140∘2 = 70°.
కావున ∠BOC = 180° – 70° = 110°.

18. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.100)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
∴ 100° = 65° + x°
⇒ x° = (100° – 65°) = 35°.
∠CAD = ∠BAC = 35°
ΔACD లో :
∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం)
⇒ 35° + 100° + y° = 180°
⇒ 135° + y° = 180°
⇒ y° = (180°- 135°) = 45°
కావున x = 35°, y = 45°.

19. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 101)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
⇒ x° = 30° + 35° = 65°.
మరల ΔDCE లో భుజము CE బిందువు A వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠DEA = ∠EDC + ∠ECD
⇒ y° = 45 + x° = 45° + 65° = 110°.
కావున x° = 65°, y = 110°.

20. కింది పటంలో QT ⊥ PR, ∠TQR = 40° మరియు ∠SPR = 30° అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
ΔTQR లో 90° + 40° + x = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ x° = 50°
ఇప్పుడు y° = ∠SPR + x° (త్రిభుజ బాహ్యకోణం)
∴ y° = 30° + 50° = 80°

21. ఇచ్చిన పటంలో ΔABC భుజములు AB, AC లు వరుసగా , E, D బిందువుల వద్దకు పొడిగించబడ్డాయి. ∠CBE, ∠BCD కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా BO, CO లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. అయిన ∠BOC = 90° – 12 ∠BAC అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
∠CBE యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ BO.
∴ ∠CBO = 12 ∠CBE
= 12(180° – y°)
= 90° – 𝑦∘2 ……… (1)
అదే విధంగా, ∠BCD యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ CO.
∴ ∠BCO = 12 ∠BCD
= 12(180° – z°)
= 90° – 𝑧∘2 ……… (2)
ΔBOCలో ∠BOC + ∠BCO + ∠CBO = 180° ………. (3)
(1), (2) సమీకరణాలను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
∠BOC + 90° – 𝑧∘2 + 90° – 𝑦∘2 = 180
కావున ∠BOC = 𝑧∘2+𝑦∘2
లేదా, ∠BOC = 12(y° + z°) ……. (4)
దీనిని x° + y° + z° = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ y° + z° = 180° – x°
∴ (4) సమీకరణంలో రాయగా
∠BOC = 12(180° – x)
= 90° – 𝑥∘2
= 90° – 12∠BAC

AP Board Textbook Solutions PDF for Class 9th Maths in English & Telugu Medium

Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks for Exam Preparations

Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions can be of great help in your Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions exam preparation. The AP Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks study material, used with the English medium textbooks, can help you complete the entire Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Books State Board syllabus with maximum efficiency.

FAQs Regarding Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Solutions

How to get AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook Answers??

Students can download the Andhra Pradesh Board Class 9 Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Answers PDF from the links provided above.

Can we get a Andhra Pradesh State Board Book PDF for all Classes?

Yes you can get Andhra Pradesh Board Text Book PDF for all classes using the links provided in the above article.

Important Terms

Andhra Pradesh Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions, AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks, Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions, Andhra Pradesh State Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook solutions, AP Board Class 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions, Andhra Pradesh Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions, AP Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks, Andhra Pradesh State Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions, Andhra Pradesh State Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbook solutions, AP Board STD 9th Maths Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions Textbooks Solutions,

HSSlive: Plus One & Plus Two Notes & Solutions for Kerala State Board

Hsslive.co.in: Kerala Higher Secondary News, Plus Two Notes, Plus One Notes, Plus two study material, Higher Secondary Question Paper.

Thursday, July 14, 2022